Дата публикации:

Скалярное произведение векторов: определение и примеры

Скалярное произведение векторов является одной из основных операций в линейной алгебре. Оно позволяет определить угол между двумя векторами и вычислить проекцию одного вектора на другой. Давайте рассмотрим пример на рисунке ниже и определим значения изображенных углов.

На рисунке изображены два вектора: ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ). Угол между этими векторами обозначен как ( \theta ).

Для определения значения угла ( \theta ) между векторами ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) используется формула скалярного произведения:

[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) ]

Из данной формулы можно выразить значение угла ( \theta ):

[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} ]

Теперь подставим известные значения векторов ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) и их скалярного произведения в формулу для нахождения угла ( \theta ).

Пример:

Пусть ( \vec{a} = (3, 4) ) и ( \vec{b} = (5, 2) ). Тогда скалярное произведение векторов ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) будет равно:

[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 15 + 8 = 23 ]

Таким образом, значение скалярного произведения векторов ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) равно 23. Теперь найдем значение угла ( \theta ):

[ \cos(\theta) = \frac{23}{\sqrt{3^2 + 4^2} \cdot \sqrt{5^2 + 2^2}} = \frac{23}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{29}} = \frac{23}{5 \cdot \sqrt{29}} ]

[ \theta = \arccos\left(\frac{23}{5 \cdot \sqrt{29}}\right) \approx 0.93 \text{ радиан} ]

Таким образом, значение угла ( \theta ) между векторами ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) составляет примерно 0.93 радиана.

Итак, скалярное произведение векторов позволяет определить угол между ними и является важным инструментом в линейной алгебре.